0      Kennlinien

1. Kirchhoffsches Gesetz (Verzweigungspunkt- oder Knotenregel):

2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel):

1      Diodenschaltung

Lösung 1

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

2      Transistor in Emitterschaltung

Lösung 2

Arbeitspunkt im Eingangskreis

Arbeitspunkt im Ausgangskreis

Grafische Bestimmung der Spannungsverstärkung A

Grafische Bestimmung von rBE und rCE

Bestimmung von S und ß

Berechnung von rBE, rCE und S

Kleinsignalersatzschaltbild

Übertragungsfunktion mit der Eingangskapazität C

3      Emitterschaltung mit Gegenkopplung

Lösung 3

Bestimmung von RE und UA für vorgegebenes IC und UE

Bestimmung von UE für den Sättigungsbetrieb

Bestimmung des Eingangswiderstandes

Bestimmung der Kleinsignalverstärkung A

Kleinsignalersatzschaltbild

Übertragungsfunktion

4      Schaltung mit MOS-Transistor

Lösung 4

Bestimmung von UGS für vorgegebenes ID = 2 mA

Berechnung von R4

Berechnung von R3

Ausgangskennlinienfelder des n-Kanal-MOSFETs

5      NMOS-Inverter

Lösung 5

Übertragungsfunktion

Schaltfunktion

Bereich 0

Bereich 1

Bereich 2

Bereich 3

Bereich 4

Bereich 5

6      Bipolarer Differenzverstärker

Lösung 6

UB1 = UB2 = 1 V

UB1 = 1 V, UB2 = 0 V

UB1 = –1 V, UB2 = 0 V

Differenzspannung UD für IE1 = 0,99·IK

7      MOS-Differenzverstärker

Lösung 7

Berechnung von UGS

Berechnung von S

Berechnung von UD für einseitige Stromverteilung

8      Grundschaltungen der Operationsverstärker

Lösung 8

Invertierender Operationsverstärker

Nichtinvertierender Operationsverstärker

Eingangs- und Ausgangswiderstände

Bestimmung von R2

9      Operationsverstärker als Subtrahierer

Lösung 9

Übertragungsfunktion

Bestimmung von a und b

10     Integral- und Differenzierstufen

Lösung 10

Übertragungsfunktionen

Zeitbereich

Frequenzbereich

Bode-Diagramme

Ortskurven

Zeitfunktionen

11     Stabilität von rückgekoppelten Verstärkern

Lösung 11

Stabilität einer rückgekoppelten Schaltung

Stabilität der vorliegenden Schaltung

Dimensionierung von R2

12     CMOS-Schaltung

Lösung 12

Positive und negative Logik

Funktionsweise

Funktionstabelle

13     CMOS-Logik

Lösung 13

Mögliche Verknüpfungen für Gatter mit N Eingängen

Alle Verknüpfungen für Gatter mit zwei Eingängen

Konstruktion von CMOS-Gattern

Konstruktion der CMOS-Gatter

14     Konstruktion von CMOS-Gattern

Lösung 14

Konstruktion der CMOS-Gatter

15     Reflexionen auf Leitungen

Lösung 15

Reflexionsfaktoren

Impulsfahrplan

Einschwingverhalten

Leistungsbilanz

Spannungsverläufe

16     Reflexion und Brechung

Lösung 16

Reflexions- und Brechungsfaktoren

Impulsfahrplan

Spannungsverläufe

17     Zeitverhalten von Flip-Flops

Lösung 17

Signalverläufe

Funktion der Schaltung

Maximaler Skew

Maximale Taktfrequenz

Erhöhung der Taktrate

1. Inverter einsparen:

2. Taktrichtung umdrehen:


0       Kennlinien

Für folgende Schaltungen sind die entsprechenden Kennlinien zu zeichnen:

 

a)                                          b)

 

c)                                             d)

 

e)                               f)        

 

g)


 

 

 


1. Kirchhoffsches Gesetz (Verzweigungspunkt- oder Knotenregel):

In jedem Verzweigungspunkt eines Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Betrachtet man zu- und abfließende Ströme nicht getrennt, gilt allgemein (alle Stromrichtungen müssen dann einheitlich zum Knoten hin oder vom Knoten weg definiert sein):

Beispiel (mit unterschiedlich definierten Stromrichtungen):

     I1 + I2 – I3 + I4 – I5 = 0

 

2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel):

In jedem geschlossenen Stromkreis ist die Summe der anliegenden Spannungen gleich der Summe aller Spannungsabfälle.

Betrachtet man anliegende Spannungen und Spannungsabfälle gleich, gilt allgemein

Beispiel:

   U1 + R1 • I1 + R4 • I4 – U3 – R2 • I2 = 0


1       Diodenschaltung

Bild 1-1 zeigt eine Schaltung mit einer Diode D, den Widerständen R1, R2 und R3 und der Spannungsquelle UB. Die Kennlinie der Diode D ist in Bild 1-2 dargestellt. Es soll der Arbeitspunkt der Schaltung im Punkt A auf grafischem Wege bestimmt werden.

Weitere Angaben: R1 = 500 W, R2 = 2 kW, R3 = 1 kW, UB = 2 V.

Bild 1-1 Diodenschaltung

Bild 1-2 Kennlinie der Diode D


Lösung 1

Schritt 1

Die Kennlinie I3 = f (UA) für die Reihenschaltung von D und R3 wird grafisch durch Addition der Spannungen UD und U3 erreicht (K‘hoffsche Maschenregel: UA = UD + U3). I3 = f (U3) wird durch R3 = 1 kW bestimmt. Zwei Punkte auf der R3-Geraden sind z. B. {0 V, 0 mA} und {2 V, 2 mA}.


Schritt 2

Die Kennlinie I = f (UA) für die Parallelschaltung von D und R3 mit R2 wird grafisch durch Addition der Ströme I2 und I3 erreicht (K‘hoffsche Knotenregel: I = I2 + I3). I2 = f (U2) wird durch R2 = 2 kW bestimmt. Zwei Punkte auf der R2-Geraden sind z. B. {0 V, 0 mA} und {2 V, 1 mA}.


Schritt 3

Der Arbeitspunkt wird durch Gleichsetzen der Kennlinie I = f1 (UA) (rechter Schaltungsteil mit den Bauteilen D, R3 und R2) mit der Kennlinie I = f2 (UA) bestimmt. Letztere ist durch den linken Schaltungsteil mit der Spannungsquelle UB = 2 V und dem Serienwiderstand R1 = 500 W gegeben. Hierzu können wieder zwei Punkte berechnet werden: z. B. {2 V, 0 mA} und {1 V, 2 mA}. Das Gleichsetzen zweier Funktionen wird grafisch durch den Schnittpunkt der Kennlinien erreicht. Der Arbeitspunkt ergibt sich zu {1,38 V, 1,25 mA}.


2       Transistor in Emitterschaltung

Bild 2-1 zeigt den NPN-Transistor T in Emitterschaltung. Die Eingangsspannung UE gelangt über einen Koppelkondensator C an die Basis des Transistors. Die Ausgangsspannung UA wird an der Kollektor-Emitter-Strecke des Transistors abgegriffen. Die Widerstände R1 und R2 dienen zur Einstellung des Arbeitspunktes der Schaltung. Der Transistor wird durch seine Eingangskennlinie nach Bild 2-2 und sein Ausgangskennlinienfeld nach Bild 2-3 beschrieben.

Weitere Angaben: R1 = 100 kW, R2 = 500 W, UB = 5 V.

Bild 2-1 NPN-Transistor in Emitterschaltung

a)      Bestimmen Sie grafisch die Arbeitspunkte des Transistors ohne Betrachtung des Kondensators C.

b)      Bestimmen Sie grafisch die Spannungsverstärkung A für eine Änderung der Eingangsspannung UE um DUE = 100 mV.

c)      Die Kleinsignalparameter rBE, rCE, S und die Stromverstärkung β sind ebenfalls grafisch zu ermitteln.

d)      Berechnen Sie die Parameter rBE, rCE und S unter Verwendung von UT = 35 mV, β = 100 und UY = 50 V. Bestimmen Sie ebenfalls die Sperrschichttemperatur TJ des Transistors.

e)      Geben Sie das Kleinsignalersatzschaltbild der Schaltung mit den Parametern aus c) an und charakterisieren Sie die Übertragungsfunktion .

f)        Wie wirkt sich real ein endlich großer Koppelkondensator C auf die Übertragungsfunktion aus?


Bild 2-2 Eingangskennlinie


Bild 2-3 Ausgangskennlinienfeld


Lösung 2

Arbeitspunkt im Eingangskreis

Den Arbeitspunkt im Eingangskreis erhält man durch Gleichsetzen der Transistor-Eingangskennlinie (Bild 2-2) mit der Arbeitsgeraden der Vorspannungserzeugung (UB mit Widerstand R1).

Letztere ermittelt man aus dem Spannungsumlauf UB = UBE + I· R1. Nach IB aufgelöst ergibt sich:

Für UBE setzt man z. B. 0,4 V und 0,8 V ein. Die zwei Punkte auf der Geraden berechnen sich dann zu {0,4 V, 46 µA} und {0,8 V, 42 µA}.

Der Arbeitspunkt im Eingangskreis ergibt sich zu {0,73 V, 43 µA}.


Arbeitspunkt im Ausgangskreis

Den Arbeitspunkt im Ausgangskreis erhält man durch Gleichsetzen der interpolierten Transistor-Ausgangskennlinie für einen Basisstrom IB = 43 µA (Bild 2-3) mit der Arbeitsgeraden der Ausgangsspannungsversorgung (UB mit Widerstand R2).

Letztere ermittelt man aus dem Spannungsumlauf UB = UA + IC·R2. Nach IC aufgelöst ergibt sich:

Für UA setzt man z. B. 0 V und 5 V ein. Die zwei Punkte auf der Geraden berechnen sich dann zu {0 V, 10 mA} und {5 V, 0 mA}.

Der Arbeitspunkt im Ausgangskreis ergibt sich zu {2,8 V, 4,4 mA}.


Grafische Bestimmung der Spannungsverstärkung A

Die Spannungsverstärkung A ist das Verhältnis der Änderung der Ausgangsspannung DUCE zur Änderung der Eingangsspannung DUBE. Da die Kapazität C nicht berücksichtigt werden soll, gilt DUBE = DUE:

Die Spannungsänderung DUBE wird an die Eingangskennlinie eingetragen (jeweils vom Arbeitspunkt aus in beide Richtungen um den halben Betrag). Es ergeben sich zwei weitere Wertepaare: {0,68 V, 23 µA} und {0,78 V, 78 µA}.


Mit den beiden Eckwerten für den Basisstrom (23 µA und 78 µA) inter– bzw. extrapoliert man die entsprechenden Ausgangskennlinien. Auch hier ergeben sich zwei Wertepaare: {1,1 V, 7,8 mA} und {3,8 V, 2,4 mA}.

Für die Spannungsverstärkung A benötigt man allerdings nur die beiden Ausgangsspannungen. Diese müssen dann in der richtigen Zuordnung zu ihren entsprechenden Eingangsspannungen eingesetzt werden (Vorzeichen!):


Grafische Bestimmung von rBE und rCE

 ist die Steigung der Eingangskennlinie im Arbeitspunkt. Dazu legt man eine Tangente (mit genügender Länge) an den Arbeitspunkt der Eingangskennlinie, um Werte für DUBE und DIB ablesen zu können. Auch hierbei ist auf richtige Zuordnung der Wertepaare für Spannung und Strom zu achten (Vorzeichen!):

Anmerkung: Es gibt Bausteine, die in ihrer Kennlinie negative Steigungen – also auch negative differentielle Widerstände – aufweisen können (z. B. Gunn-Dioden). Transistoraufgaben aus dem hier vermittelten Fachgebiet haben i. d. R. positive Eingangs- und Ausgangswiderstände.


 ist die Steigung der Ausgangskennlinie im Arbeitspunkt. Dazu legt man eine Tangente (mit genügender Länge) an den Arbeitspunkt der Ausgangskennlinie, um jeweils Werte für DUCE und DIC ablesen zu können. I. d. R. beschreibt die Ausgangskennlinie des Bipolartransistors im aktiven Bereich eine Gerade, so daß man direkt an dieser ablesen kann. Es ist wieder auf richtige Zuordnung der Wertepaare für Spannung und Strom zu achten (Vorzeichen!):


Bestimmung von S und ß

 wird aus dem Ausgangskennlinienfeld abgelesen. Dazu benutzt man zwei vorgegebene Kennlinien um den Arbeitspunkt herum (in dieser Aufgabe sind das die Kurven für IB = 25 µA und IB = 45 µA). Dazu sind die beiden Kollektorströme an den Schnittpunkten mit der Arbeitsgeraden abzulesen.

Bei dieser Vorgehensweise geht die äußere Transistorbeschaltung (Arbeitsgerade) mit in das Ergebnis ein. Durch den flachen Verlauf der Ausgangskennlinien im aktiven Bereich (gesteuerte Stromquelle) ist dieser Einfluß aber gering. Alternativ könnte eine senkrechte Gerade durch den Arbeitspunkt anstelle der vorhandenen Arbeitsgeraden genommen werden (Spannungsquelle).

S ergibt sich aus


Berechnung von rBE, rCE und S

rBE, rCE und S können mit Hilfe der Formeln aus der Vorlesung berechnet werden:

Die Sperrschichttemperatur TJ bestimmt man aus der Gleichung für die Temperaturspannung UT:

Auflösen nach TJ ergibt:

Dabei ist kB die Boltzmann-Konstante mit , e ist die Elementarladung mit .

(0 K = –273,16 °C)


Kleinsignalersatzschaltbild

Die Widerstände im Ein- und Ausgangskreis können zusammengefaßt werden:

     | mit rBE << R1

        | mit R2 << rCE

Übertragungsfunktion mit der Eingangskapazität C

Die Eingangsbeschaltung stellt einen Hochpaß dar.

Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich lautet:

      | mit w = 2p·f

Frequenzverhalten: Für f ® 0 wird A(w) = 0, für f ® ¥ wird A(w) = 1.


3       Emitterschaltung mit Gegenkopplung

Die Schaltung nach Bild 3-1 besteht aus dem Transistor T und den Widerständen RC und RE. Für den Transistor gelte die in Bild 3-2 dargestellte idealisierte Eingangskennlinie.

Weitere Angaben: RC = 2 kW, a = 1.



Bild 3-1 Transistorschaltung


Bild 3-2 Eingangskennlinie von T


a)      Bei einer Eingangsspannung von UE = 5 V soll ein Kollektorstrom IC = 2 mA fließen. Dimensionieren Sie RE und bestimmen Sie den Wert der Ausgangsspannung UA.

b)      Mit welchem Wert der Eingangsspannung UE wird der Transistor in die Sättigung gebracht (UCE,SAT = 0,2 V)?

c)      Berechnen Sie den Eingangswiderstand der Schaltung. Dazu kann die Gleichstromverstärkung mit B = 200 angenommen werden.

d)      Bestimmen Sie den Wert der Kleinsignalverstärkung  sowie die Ausgangsspannung UA für UE = 3,9 V.

e)      Zeichnen Sie das Kleinsignal-Ersatzschaltbild der Anordnung nach Bild 3-1 und geben Sie an, um welche Transistor-Grundschaltung es sich handelt.

f)        Geben Sie die Übertragungsfunktion UA = f (UE) an.


Lösung 3

Bestimmung von RE und UA für vorgegebenes IC und UE

Der Spannungsumlauf am Eingangskreis liefert:

Nach RE aufgelöst ergibt sich:

         | mit IC = IE (a = 1)

Für den Ausgangskreis gilt:


Bestimmung von UE für den Sättigungsbetrieb

Der Spannungsumlauf im Ausgangskreis ergibt:

 (1)

Mit IC = IE läßt sich der Ausdruck wie folgt umsetzen:

 oder   (2)

Als Spannungsumlauf im Eingangskreis gilt:

 (3)

(2) in (3) eingesetzt liefert eine Beziehung für UE:

 (4)

Für UE,SAT gilt entsprechend:

 (5)


Bestimmung des Eingangswiderstandes

Für den Eingangswiderstand müssen Groß- und Kleinsignalverhalten getrennt betrachtet werden. Für das Großsignalverhalten gilt:

Mit IE = IB·B folgt:

Für das Kleinsignalverhalten kann die aus der Vorlesung bekannte Formel für den Eingangswiderstand der Emitterschaltung mit Stromgegenkopplung verwendet werden:

Es gilt rBE = 0 wegen der idealisierten Eingangskennlinie. Setzt man außerdem β » B, folgt:


Bestimmung der Kleinsignalverstärkung A

Die aus der Vorlesung bekannte Formel für die Verstärkung der stromgegengekoppelten Emitterschaltung lautet:

Bei Raumtemperatur kann UT = 26mV angenommen werden. IC muß berechnet werden:

Damit berechnet sich A zu:

 entspricht . Mit  und  gilt RE >> . Für die Verstärkung gilt dann vereinfacht:

Damit ist die Schaltung also nicht mehr von den Transistorparametern abhängig.

Kleinsignalersatzschaltbild

Es handelt sich um eine Emitterschaltung mit Stromgegenkopplung:


Übertragungsfunktion

Für die Übertragungsfunktion sind einige „typische“ Wertepaare für Eingangs- und Ausgangsspannungen gegeneinander aufzutragen. Aus den vorigen Teilaufgaben können bereits einige Wertepaare übernommen werden. Ansonsten sind Werte vom gesperrten Zustand (U = 0V) bis zur Sättigung zu benutzen.

 

Bemerkung

0

12

Transistor im gesperrten Zustand

0,6

12

Transistor im gesperrten Zustand

3,9

9

Teilaufgabe d)

5

8

Teilaufgabe 0

6,8

6,4

Teilaufgabe b) (UA = UCE + URE)

 

Diese Werte trägt man in ein Diagramm mit UA über UE ein und verbindet die Punkte. Oberhalb von UE = 6,8 V ist der Transistor in der Sättigung (siehe Teilaufgabe b)):


4       Schaltung mit MOS-Transistor

In Bild 4-1 ist eine Verstärkerschaltung mit dem MOS-Transistor T dargestellt. Der Transistor soll im „aktiven Bereich“ mit einem Strom ID = 2 mA betrieben werden. Als Transistorparameter sind bekannt: Ut = 2 V,  und .

Weitere Angaben: R1 = 2 MW, R2 = 1 MW, UB = 24 V.

Bild 4-1 Schaltung mit MOS-Transistor

a)      Berechnen Sie für den geforderten Betriebsfall die Spannung UGS.

b)      Bestimmen Sie den Wert des Widerstandes R4, der zur Einstellung der unter a) berechneten Spannung zwischen Gate- und Source-Anschluß erforderlich ist.

c)      Welche Bedingung muß der Widerstand R3 erfüllen, damit ein Betrieb des Transistors im „aktiven Bereich“ sichergestellt ist?

d)      Zeichnen Sie das Ausgangskennlinienfeld eines selbstleitenden sowie eines selbstsperrenden
n-Kanal-MOSFETs. Kennzeichnen Sie charakteristische Bereiche und Kennwerte.


Lösung 4

Bestimmung von UGS für vorgegebenes ID = 2 mA

Für die Berechnung von ID aus physikalischen Größen kann die folgende Formel aus der Vorlesung benutzt werden:

Aufgelöst nach UGS ergibt sich:


Berechnung von R4

Der Spannungsumlauf am Eingangskreis ergibt:

 (1)

Da beim MOSFET für den Gate-Strom IG = 0 angenommen werden kann, ergibt sich UR2 nur aus dem Spannungsteiler mit R1 und R2:

 (2)

(2) in (1) eingesetzt und nach R4 aufgelöst ergibt:

Berechnung von R3

Die Grenze vom Triodenbereich zum Sättigungsbereich („aktiver Bereich“) wird von folgender Bedingung aus der Vorlesung bestimmt:

Es ist also eine minimale Drain-Source-Spannung UDS,MIN erforderlich. Ein weiterer Zusammenhang für UDS ergibt sich aus dem Spannungsumlauf am Ausgangskreis:

Man beachte, daß IS = ID gilt. Die Formel nach R3 aufgelöst:

Setzt man UDS,MIN für UDS, ergibt sich der folgende Maximalwert (wegen des Vorzeichens von UDS!) für R3:


Ausgangskennlinienfelder des n-Kanal-MOSFETs

Selbstleitender n-Kanal-MOSFET

Selbstsperrender n-Kanal-MOSFET


5       NMOS-Inverter

In Bild 5-1 ist ein NMOS-Inverter dargestellt, der aus zwei NMOS-Transistoren T1 und T2 aufgebaut und an seinem Ausgang durch einen Kondensator C kapazitiv belastet ist. Das Diagramm nach Bild 5-2 zeigt das Ausgangskennlinienfeld des Schalttransistors T2 (selbstsperrender Typ), in das die Kennlinie des als Last arbeitenden Transistors T1 (selbstleitender Typ) eingetragen ist. Die Eingangsspannung UE liegt zwischen Gate und Source von T2, die Ausgangsspannung UA wird über dem Kondensator C abgegriffen.

Weitere Angaben: C = 100 pF und UDD = 5 V.

Bild 5-1 NMOS-Inverter

a)      Konstruieren Sie die Übertragungskennlinie UA = f (UE) ohne Belastung des Ausgangs durch C.

b)      Bestimmen Sie den Verlauf des Stromes ID in T2 als Funktion von UE. Auch hier soll der Kondensator nicht berücksichtigt werden.

c)      Die Schaltung sei nun am Ausgang mit dem Kondensator C belastet. Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung für die in Bild 5-3 angegebene Eingangsspannung UE(t).


Bild 5-2 Ausgangskennlinienfeld des Transistors T2 mit Lastkennlinie für T1

Bild 5-3 Zeitlicher Verlauf der Eingangsspannung UE


Lösung 5

Übertragungsfunktion

Da die Schaltung an ihrem Ausgang nicht belastet ist, gilt ID1 = ID2. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung UA aus dem Schnittpunkt der festen T1-Lastkennlinie mit der jeweiligen (von UE abhängigen) Ausgangskennlinie von T2. UE wird zweckmäßigerweise so vorgegeben, daß alle gegebenen T2-Kennlinien verwendet werden können (also 0 V, 1,4 V, 1,8 V etc.):


Die abgelesenen Werte (UA im Aufgabenteil a), ID im Aufgabenteil b)) überträgt man in eine Tabelle. Anschließend werden die beiden Grafiken mit UA über UE und ID über UE erstellt:

 

0

1,4

1,8

2,2

2,6

3

3,4

3,8

4,2

4,6

5

5

4,9

4,7

4,3

1

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0

0,4

1,0

2,4

3,5

3,5

3,5

3,5

3,5

3,5

3,5

 


Schaltfunktion

Das Umschalten der Ausgangsspannung ist durch die kapazitive Belastung eine Funktion der Zeit. Zur einfacheren analytischen Bestimmung des Spannungverlaufs werden die beiden Transistorkennlinien abschnittsweise zerlegt. Ein Abschnitt wird dort vorgenommen, wo die Kennlinie eines Transistors eine Unstetigkeit aufweist (Knick). Es gilt je nach Eingangsspannung (hier 0 V oder 5 V) die entsprechende Ausgangskennlinie für den Transistor T2:

Die Kennlinie für die Depletion-Last (T1) sowie die T2-Kennlinie für UE = 5 V haben jeweils eine Unstetigkeitsstelle (UA = 4 V für T1 und UA = 2 V für T2). Daher kann der Einschaltvorgang in drei Bereiche unterteilt werden (Bereiche 1-3), das Ausschalten dann in zwei Bereiche (Bereiche 4-5, die Kennlinie für T2 mit UE = 0 V hat keine Unstetigkeit).

Für Abschnitte mit horizontal verlaufender Kennlinie können Stromquellen anstelle der Transistoren eingesetzt werden. Für schräg verlaufende Kennlinien sind die entsprechenden Widerstände zu ermitteln. Der Wert ergibt sich aus der Steigung (zwei Punkte).

Das Endergebnis eines jeden Bereiches wird für den nachfolgenden als Anfangswert gelten. Für den Anfangswert des ersten Bereiches geht man von einem stationären Zustand aus (Bereich 0).



Bereich 0

Gültigkeit:  t < t0, UE = 0 V 

T1 arbeitet im ohmschen Bereich.

T2 sperrt (UE = 0 V).

Für den stationären Zustand gilt IC = 0. Damit fällt an R1 keine Spannung ab, der Kondensator C ist auf UA = UB aufgeladen:


Bereich 1

Gültigkeit:  t0 £ t < t1, UE = 5 V, 4 V £ UA £ 5 V 

T1 arbeitet im ohmschen Bereich.

T2 bildet eine Stromquelle mit I2 = 25 mA (Kennlinie mit UGS = 5 V).

Für den Kondensator gilt:

 (1) und  (2)

(1) und (2) gleichgesetzt und nach UC aufgelöst ergibt:

 (3)

Für ein unendlich kleines Zeitintervall T und UC = UA gilt dann:

 oder  (4)

Das Zeitintervall T muß deshalb unendlich klein gewählt werden, weil IC selbst von t abhängig ist. Dies wird im folgenden gezeigt.

Für die Ströme am Summenpunkt gilt (Knotenregel):

 (5)

Für den Strom durch R1 gilt (Ohmsches Gesetz):

 (6)

 (6) in (5) eingesetzt ergibt:

 (7)


Da UA eine Funktion der Zeit ist, ist also auch IC von t abhängig.

(7) in (4) eingesetzt liefert:

 (7)

Dieser Ausdruck läßt sich nur als Differentialgleichung lösen. Da dies jedoch ist kein Bestandteil dieses Vorlesungs- und Übungsstoffes ist, kann die folgende vereinfachende Vorgehensweise angewandt werden.

Anfangs- und Endwerte werden in gewohnter Weise ermittelt. Der Endwert ist so definiert, daß keine Änderungen der Spannungen und Ströme mehr erfolgen, die Schaltung sich also im „eingeschwungenen Zustand“ befindet (t à ¥). Die Zeitfunktion wird dann wie folgt definiert:

UHUB bestimmt man aus der Differenz von Anfangs- und Endspannung:

U0 ist der Endwert aus dem vorigen Bereich. U¥ bestimmt man unter der Annahme, daß keine Ausgleichströme mehr fließen (hier IC = 0).

Eine Zeitkonstante τ wird durch die folgende Beziehung gegeben:

Dabei werden alle Cs und Rs entsprechend der Vorgabe für Kleinsignale summiert. D. h., Spannungsquellen bilden einen Kurzschluß, Stromquellen bleiben offen.


Für den Bereich 1 gelten die nachstehenden Werte:

R1 liest man aus der Ausgangskennlinie ab. Nimmt man die zwei Eckwerte der Kennlinie ({5 V, 0 mA} und {4 V, 3,5 mA}), entspricht dies einem Widerstand von:

Hinweis: Im Diagramm ist die T1-Kennlinie zur Bestimmung der Arbeitspunkte an UB = 5 V gespiegelt eingetragen. Der Ersatzwiderstand ist also positiv.

Mit IC(¥) = 0 gilt:

Diese Spannung wird nicht erreicht, da der Bereich 1 nur von 4 V bis 5 V Gültigkeit hat. Der Endwert wird daher auch „fiktiv“ genannt. Man würde diesen Wert nur erreichen, wenn man die zu diesem Bereich gültigen Kennlinienabschnitte über den Gültigkeitsbereich hinaus verlängerte. Der Schnittpunkt läge dann bei –2,25 V.


Der Spannungshub UHUB ergibt sich zu:

Die Zeitkonstante τ1 wird zu:

Damit hat der Bereich 1 die Zeitfunktion:

Die e-Funktion hat eine anfängliche Steigung von . Konstruktiv kann man vom Anfangspunkt eine Gerade ziehen, die bei t + τ den vollen Spannungshub erreicht. Diese Gerade liegt dann als Tangente im Anfangspunkt der e-Funktion.

Der Zeitpunkt der Bereichsgrenze (UA = 4 V) wird durch Auflösen nach t ermittelt:


Bereich 2

Gültigkeit:  t1 £ t < t2, UE = 5 V, 2 V £ UA £ 4 V 

T1 bildet eine Stromquelle mit I1 = 3,5 mA.

T2 bildet eine Stromquelle mit I2 = 25 mA (Kennlinie mit UGS = 5 V).

Der Kondensator C wird über den konstanten Strom IC entladen:

Wegen  gilt für die Kondensatorspannung:

Der Zeitpunkt der Bereichsgrenze (UA = 2 V) wird durch Auflösen nach T2 ermittelt:


Bereich 3

Gültigkeit:  t2 £ t < t3, UE = 5 V, 0 V £ UA £ 2 V 

T1 bildet eine Stromquelle mit I1 = 3,5 mA.

T2 arbeitet im ohmschen Bereich.

Die Vorgehensweise entspricht dem Bereich 1. R2 liest man aus der Ausgangskennlinie ab. Nimmt man die zwei Eckwerte der Kennlinie ({2 V, 25 mA} und {0 V, 0 mA}), entspricht dies einem Widerstand von:

Mit IC(¥) = 0 gilt:

Der Spannungshub UHUB ergibt sich zu:

Die Zeitkonstante τ2 wird zu:

Damit hat der Bereich 3 die Zeitfunktion:

Die Spannung am Ende des Zeitintervalls kann durch Einsetzen bestimmt werden:



Bereich 4

Gültigkeit:  t3 £ t < t4, UE = 0 V, 0 V £ UA £ 4 V 

T1 bildet eine Stromquelle mit I1 = 3,5 mA.

T2 sperrt.

Der Kondensator C wird über den konstanten Strom IC aufgeladen:

Wegen  gilt für die Kondensatorspannung:

Der Zeitpunkt der Bereichsgrenze (UA = 4 V) wird durch Auflösen nach T4 ermittelt:


Bereich 5

Gültigkeit:  t4 £ t < t5, UE = 0 V, 4 V £ UA £ 5 V 

T1 arbeitet im ohmschen Bereich.

T2 sperrt.

Mit IC(¥) = 0 gilt:

Der Spannungshub UHUB ergibt sich zu:

Die Zeitkonstante τ5 wird zu:

Damit hat der Bereich 5 die Zeitfunktion:



6       Bipolarer Differenzverstärker

Der Differenzverstärker in Bild 6-1 besteht aus zwei identischen Bipolartransistoren T1 und T2, zwei Widerständen RC sowie der Konstantstromquelle IK. Zur Untersuchung der verschiedenen Betriebsarten des Differenzverstärkers seien die Ausgangsspannungen UC1 und UC2 für folgende Fälle anzugeben:

a)      UB1 = UB2 = 1 V

b)      UB1 = 1 V, UB2 = 0 V

c)      UB1 = –1 V, UB2 = 0 V

d)      Berechnen Sie die Differenzspannung UD (UD = UB1 – UB2), bei der ein Strom IE1 = 0,99 IK fließt (UT = 25 mV).

Bild 6-1 Bipolarer Differenzverstärker


Lösung 6

UB1 = UB2 = 1 V

Da keine Angaben zu RC, IK und T vorliegen, ist von einer typischen OP-Eingangsstufe auszugehen:

Beide Transistoren sind gleich.

Keine Sättigung im Bereich der Stromumschaltung:

Mit UB1 = UB2 (UD = 0) leiten beide Transistoren. Der Strom teilt sich symmetrisch auf:

Und mit :

Für die Ausgangsspannungen gilt:


UB1 = 1 V, UB2 = 0 V

Die Differenzspannung UD = UB1 – UB2 = 1 V liegt weit außerhalb des Umschaltbereichs :

>>5

Der Strom IK fließt vollständig durch T1:

,

Und mit :

,

Für die Ausgangsspannungen gilt:

,

 

UB1 = –1 V, UB2 = 0 V

Die Differenzspannung UD = UB1 – UB2= –1 V liegt weit außerhalb des Umschaltbereichs :

>>5

Der Strom IK fließt vollständig durch T2:

,

Und mit :

,

Für die Ausgangsspannungen gilt:

,


Differenzspannung UD für IE1 = 0,99·IK

Bei gleichen Transistorparametern gilt:

Mit IK = IE1 + IE2 erhält man nach Umformung:

Nach UB1 – UB2 aufgelöst ergibt:


7       MOS-Differenzverstärker

Bild 7-1 zeigt einen Differenzverstärker, der aus zwei identischen NMOS-Transistoren T1 und T2, zwei Wideständen RD und einer Konstantstromquelle IK aufgebaut ist. IK liefert einen Strom von 25 μA. Die MOS-Transistoren sind gekennzeichnet durch die Schwellspannung Ut = 1 V, die Kanallänge l = 6 μm und die Kanalweite w = 120 μm. Bei der eingesetzten Technologie ergibt sich ein Parameter .

Bild 7-1 MOS-Differenzverstärker

a)      Berechnen Sie für den Arbeitspunkt der Schaltung (UD = 0 ë UGS1 = UGS2 = UGS) den Wert der Spannung UGS.

b)      Berechnen Sie den Transistorparameter S.

c)      Berechnen Sie die Differenzspannung UD, bei der der gesamte Strom auf einen Zweig des Differenzverstärkers geschaltet wird.


Lösung 7

Berechnung von UGS

Der Differenzverstärker mit Feldeffekttransistoren arbeitet bei UD = 0 im Sättigungsbereich. Dort gilt für den einzelnen Transistor:

 (1)

Für UD = 0 ist die Stromverteilung symmetrisch:

 (2)

(1) und (2) gleichgesetzt und nach UGS aufgelöst liefert:


Berechnung von S

Nach der Formel aus der Vorlesung ergibt sich die Steilheit S zu:

Oder unter Verwendung der im Teil a) berechneten Spannung UGS:

Berechnung von UD für einseitige Stromverteilung

Als Beispiel wird T1 als leitend, T2 als gesperrt angesetzt. Aus der Vorlesung kann die folgende Stromverteilung für ID2 benutzt werden:

Zur Vereinfachung der Schreibweise läßt sich substituieren:

 mit

Setzt man ID2 = 0 und kürzt man IK heraus, bekommt man nach Quadrieren einen Ausdruck für X:

Die doppelte Nullstelle bei  ist übrigens nur auf das vorherige Quadrieren zurückzuführen. Die Lösung für UD ist eindeutig:


8       Grundschaltungen der Operationsverstärker

Die Bilder 8-1 und 8-2 zeigen unterschiedlich beschaltete Operationsverstärker. Die Eigenschaften der Operationsverstärker sind als ideal anzunehmen.

Bild 8-1

Bild 8-2

a)      Leiten Sie für beide Fälle die Übertragungsfunktion UA = f (UE) her.

b)      Wie groß sind die Ein- und Ausgangswiderstände der beiden Schaltungen?

c)      R1 sei zu 10 kW gewählt. Wie groß muß jeweils R2 gewählt werden, um betragsmäßige Verstärkungen von 2, 10 und 100 zu erhalten?


Lösung 8

Invertierender Operationsverstärker

Ein idealer Operationsverstärker hat folgende Eigenschaften:

Unendlich hohe Verstärkung

Unendlich hoher Eingangswiderstand (differentiell)

Unendlich kleiner Ausgangswiderstand

Unendlich hohe Gleichtaktunterdrückung

Keine Frequenzabhängigkeit

Vorweg soll gezeigt werden, daß man beim idealen Operationsverstärker mit Gegenkopplung vereinfachend einen „virtuellen Kurzschluß“ zwischen seinen beiden Eingängen annehmen kann. Obwohl keine Ströme durch die Eingänge fließen, wird UD = 0 erzwungen, wenn die Gegenkopplungsbedingung erfüllt ist.

Zum Beweis setzt man eine endliche Verstärkung V des Operationsverstärker an und bestimmt die Übertragungsfunktion. Spannungsumläufe an den Ein- und Ausgangskreisen liefern die folgenden Beziehungen:

 (1)

 (2)

Der Stromknoten am „–“-Eingang liefert:

 (3)

Mit I- = 0 folgt:

 (4)


Setzt man in (1) und (2) die Ströme gleich, ergibt sich:

 (5)

Für den Verstärker gilt:

 oder  (6)

(6) in (5) eingesetzt ergibt:

 oder  (7)

Für die Verstärkung der Schaltung gilt damit:

 (8)

Die Verstärkung mit einem idealen Operationsverstärker (V = ¥) wird zu:

 (9)

Aus Gleichung (6) ist ersichtlich, daß bei unendlicher Verstärkung UD verschwindet („virtueller Kurzschluß“). Für diesen Fall ist dann die Herleitung der Schaltungsverstärkung wesentlich einfacher. Setzt man sofort UD = 0, ergibt sich für die Eingangs- und Ausgangskreise:

 (1)

 (2)

Mit I 1 = I 2 folgt:

 oder  (3)

q. e. d.


Nichtinvertierender Operationsverstärker

Für die Herleitung der zweiten Schaltung wird sofort UD = 0 angenommen. Dazu ist nur zu prüfen, ob die Bedingung der Gegenkopplung (also die Rückführung des OP-Ausgangssignals auf seinen „–“-Eingang) erfüllt ist.

Es ergeben sich zwei Gleichungen für die Spannung UX:

 (1)

 (2)

(1) in (2) liefert:

 oder  (3)

Eingangs- und Ausgangswiderstände

Die Ein- und Ausgangswiderstände können direkt aus der Schaltung abgelesen werden:

Für den invertierenden Verstärker:

RE = R1, RA = 0

Für den nichtinvertierenden Verstärker:

RE = ¥, RA = 0

Wegen dieser idealen Eigenschaft wird die nichtinvertierende OP-Schaltung auch Elektrometerverstärker genannt.


Bestimmung von R2

Für den invertierenden Verstärker gilt:

Für den nichtinvertierenden Verstärker gilt:

Für die Vorgaben von V und R1 kann R2 bestimmt werden:

 

Verstärkung V

2

10

100

R2

Invertierender
Verstärker

20 kW

100 kW

1 MW

Nichtinvertierender
Verstärker

10 kW

90 kW

990 kW


9       Operationsverstärker als Subtrahierer

Bild 9-1 zeigt eine (idealisierte) Operationsverstärkerschaltung mit zwei Eingängen.

Bild 9-1

a)      Leiten Sie die Übertragungsfunktion UA = f (U1, U2) her.

b)      Mit dieser Schaltung soll die Funktion UA = 2 U2 – 3 U1 realisiert werden. Wie sind dafür die Widerstandsverhältnisse a und b zu wählen?


Lösung 9

Übertragungsfunktion

Die Gegenkopplungsbedingung ist erfüllt. Damit stellt sich am „+“- sowie am „–“-Eingang die gleiche Spannung UX ein. Für den „+“-Eingang gilt:

 (1)

Für den „–“-Eingang gilt:

 (2)

Und für den Ausgangskreis:

 (3)

(2) nach I aufgelöst und in (3) eingesetzt liefert:

 (4)

Und UX aus (1) in (4) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion:

 (5)


Bestimmung von a und b

Die Übertragungsfunktion wird mit der Vorgabe gleichgesetzt:

 (1)

Dieser Ausdruck läßt sich in zwei Teile zerlegen:

 (2)

 (3)

Aus (3) folgt unmittelbar a, mit a dann b aus (2):

, .


10 Integral- und Differenzierstufen

Die Bilder 10-1 und 10-2 zeigen beschaltete (ideale) Operationsverstärker. Die diskreten Elemente haben die folgenden Werte: R1 = R2 = 100 W, C2 = 10 µF, L2 = 10 mH.

Bild 10-1

Bild 10-2

a)      Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen UA = f (UE) jeweils im Frequenz- und im Zeitbereich. Berechnen Sie die jeweils zugehörige Zeitkonstante τ.

b)      Zeichnen Sie qualitativ die Bode-Diagramme und die Ortskurven.

c)      Die Schaltung in Bild 10-1 wird mit einem Rechteckimpuls von 2 ms Länge und einer Amplitude von 5 V angesteuert. Vor dem Impuls waren Eingangs- und Ausgangsspannung auf 0 V. Skizzieren Sie maßstabsgerecht das Ausgangssignal.

d)      Die Schaltung in Bild 10-2 wird mit einer auf- und absteigenden Rampe von je 1 ms Länge mit einer Amplitude von 5 V (bei t = 1 ms) angesteuert. Skizzieren Sie maßstabsgerecht das Ausgangssignal.


Lösung 10

Übertragungsfunktionen

Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung läßt sich bei Widerständen durch das Ohmsche Gesetz erklären. Bei Kapazitäten und Induktivitäten sind die Verhältnisse nur über eine Zeit- bzw. Frequenzfunktion erklärbar. Der Strom eines Kondensators verhält sich proportional zu dessen Spannungsänderung, die Spannung einer Spule hingegen verhält sich proportional zu deren Stromänderung. Allgemein gilt:

 

Bauteil

Symbol

Zeitbereich

Frequenzbereich

R

C

L

 

w = 2p·f  steht dabei für die sogenannte Kreisfrequenz und  wird zur Darstellung imaginärer Größen verwendet.

Bei den Integraldarstellungen im Zeitbereich sind die Stammfunktionen zu berücksichtigen. Für die Bewertung von Schaltungen entspricht dies der sogenannten „Vorgeschichte“, also z. B. dem Spannungs- bzw. Ladezustand eines Kondensators zum Anfangszeitpunkt.

Die vorliegenden OP-Schaltungen können damit in gewohnter Weise berechnet werden. Es sind jedoch je nach Anwendungsfall entweder die Zeitfunktion (z. B. zur Bestimmung einer Impulsantwort oder einer Verzögerungszeit) oder der Frequenzbereich (z. B. zur Bestimmung des Frequenzganges von aktiven Filtern) vorzuziehen.


Zeitbereich

Die Gegenkopplungsbedingung ist erfüllt. Für den linken Schaltungsteil gilt (UD = 0):

 (1)

Für den rechten Schaltungsteil gilt:

 (2)

(1) nach I(t) aufgelöst und in (2) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion:

Mit  und  läßt sich der Ausdruck verkürzen:

 (3)

Die Übertragungsfunktion ist aus dem proportionalen Anteil , dem konstanten Anteil  und aus dem Integral  zusammengesetzt. Die beiden letzten Ausdrücke zusammengefaßt ergeben die Eigenschaft eines Integrators.


Für die zweite Schaltung ergibt sich entsprechend:

Die Gegenkopplungsbedingung ist erfüllt. Für den linken Schaltungsteil gilt (UD = 0):

 (1)

Für den rechten Schaltungsteil gilt:

 (2)

(1) nach I(t) aufgelöst und in (2) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion:

Mit  und  läßt sich der Ausdruck verkürzen:

 (3)

Die Übertragungsfunktion ist aus dem proportionalen Anteil  und aus dem Differentialausdruck  zusammengesetzt. Der letzte Ausdruck beschreibt einen Differenzierer.


Frequenzbereich

Analog zum Zeitbereich gilt für den linken Schaltungsteil der ersten Schaltung:

 (1)

Für den rechten Schaltungsteil gilt nun:

 (2)

(1) nach I(w) aufgelöst und in (2) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion:

Mit  und  läßt sich der Ausdruck verkürzen:

 (3)

Die Übertragungsfunktion ist jetzt aus dem reellen Anteil  sowie dem imaginären Anteil  zusammengesetzt. Bei tiefen Frequenzen (w à 0) wird der zweite Ausdruck unendlich groß, bei hohen Frequenzen (w à ¥) geht er gegen Null. Der erste Ausdruck ist frequenzunabhängig (–a). Die Gesamtcharakteristik entspricht einem Tiefpaß.


Analog zum Zeitbereich gilt für den linken Schaltungsteil der zweiten Schaltung:

 (1)

Für den rechten Schaltungsteil gilt:

 (2)

(1) nach I(w) aufgelöst und in (2) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion:

Mit  und  läßt sich der Ausdruck verkürzen:

 (3)

Die Übertragungsfunktion ist jetzt aus dem reellen Anteil  sowie dem imaginären Anteil  zusammengesetzt. Bei tiefen Frequenzen (w ® 0) geht der zweite Ausdruck gegen Null, bei hohen Frequenzen (w ® ¥) wird er unendlich groß. Der erste Ausdruck ist frequenzunabhängig (–a). Die Gesamtcharakteristik entspricht einem Hochpaß.


Bode-Diagramme

Bode-Diagramme bestehen aus nach Betrag und Phase getrennten Darstellungen der Übertragungsfunktion im Frequenzbereich. Die Frequenz- bzw. Kreisfrequenzachse wird logarithmisch unterteilt, die Verstärkung ebenfalls. Für die Phase wird ein linearer Bereich gewählt, der ca. 180 ° überstreicht.

Für die vorliegenden Schaltungen wird zur einfacheren Konstruktion der Diagramme noch die Kreisfrequenz wE bestimmt, bei der die Real- und Imaginäranteile gleich groß sind:

Für die erste Schaltung:

  ®     

Für die zweite Schaltung:

  ®     

Mit R1 = R2 wird a = 1. Damit gilt für beide Schaltungen:


Die zwei Anteile an der Gesamtverstärkung werden zuerst getrennt eingetragen. Bei wE haben beide Teilfunktionen . Der proportionale Anteil –a verläuft horizontal, bei der Tiefpaßfunktion  gibt es einen Verstärkungsabfall erster Ordnung. D. h., mit jeder Erhöhung der Frequenz auf das n-fache nimmt die Verstärkung um den Faktor  ab. Im doppelt-logarithmischen Maßstab entspricht das einer Geraden mit einer normierten Steigung von –1 (–20 dB/Dekade oder –6 dB/Oktave). Beim Addieren der beiden Anteile überwiegt der jeweils größere. Im Übergang gibt es wegen  eine Erhöhung um 3 dB. Die Phase richtet sich nach dem jeweils dominanten Anteil.


Bei der Hochpaßfunktion  in der zweiten Schaltung gibt es einen Verstärkungsanstieg erster Ordnung, d. h. eine Gerade mit der Steigung 1. Ansonsten gelten die zuvor genannten Konstruktionsregeln.

 


Ortskurven

Ortskurven benutzen die Darstellung in der komplexen Ebene. Als Kreisfrequenzen werden jeweils w = 0, w = wE und  w = ¥ angegeben.


Zeitfunktionen

Zur Bestimmung des Ausgangssignals mit vorgegebener Zeitfunktion des Eingangssignals benutzt man die Übertragungsfunktion der Schaltung im Zeitbereich. Dazu gibt es zwei Ansätze. Erstens kann man die Übertragungsfunktion in ihre verschiedene Anteile zerlegen (z. B in den proportionalen und den integralen Anteil) und die berechneten Ausgangssignale dann überlagern. Zum zweiten ist es möglich an allen Unstetigkeitsstellen des Eingangssignals den Gesamtausdruck zu berechnen. Dabei sollte jeweils um ε vor und nach der Unstetigkeit gerechnet werden. Die einzelnen Punkte sind dann zu verbinden. Es muß aber darauf geachtet werden, daß die Verbindung der Punkte untereinander gemäß dem Funktionsverlauf erfolgt. In den meisten (einfachen) Fällen können dies Geraden sein (wie bei dieser Aufgabe).

Mit der Annahme UC2(t0) = 0 gilt für die erste Schaltung:

Folgende Unstetigkeitsstellen sind zu untersuchen: t = 0 ms, t = 2 ms.


Für die zweite Schaltung gilt entsprechend:

Folgende Unstetigkeitsstellen sind zu untersuchen: t = 0 ms, t = 1 ms, t = 2 ms.


11 Stabilität von rückgekoppelten Verstärkern

Die Schaltung mit Operationsverstärker nach  Bild 11-1 soll auf Stabilität hin untersucht werden. Bild 11-2 zeigt das Bode-Diagramm des Operationsverstärkers. Die Widerstände haben die Werte R1 = 10 kW und R2 = 20 kW.

Bild 11-1 Schaltung mit Operationsverstärker

a)      Tragen Sie in das Diagramm (Bild 11-2) die Übertragungsfunktion des Rückkopplungszweiges ein. Welche Aussage kann über die Stabilität der Schaltung getroffen werden?

b)      Geben Sie an, wie der Wert von R2 zu verändern ist, um den Betrieb der Schaltung im stabilen Bereich zu gewährleisten.


Bild 11-2 Bode-Diagramm


Lösung 11

Stabilität einer rückgekoppelten Schaltung

Allgemein kann man einen rückgekoppelten Verstärker in zwei Funktionsblöcke zerlegen: In den Verstärker mit der Verstärkung V und den Rückkoppler mit dem Rückkopplungsfaktor R. Beide Größen können frequenzabhängig sein.

Für den Fall der Gegenkopplung wird das rückgekoppelte Signal mit negativem Vorzeichen auf den Verstärker geschaltet. Sollte das Produkt aus V(w)·R(w) (man spricht dabei von der offenen Schleifenverstärkung G0(w)) aber selbst eine Phasendrehung von 180 ° erfahren, hieße das, daß aus der ursprünglichen Gegenkopplung eine Mitkopplung würde. Mit einer Schleifenverstärkung größer eins (G0(w) > 1) würde dies den Einsatz von Schwingungen bedeuten. Die Schaltung wäre instabil.

Eine solche Schaltung arbeitet also nur stabil, wenn auf allen Frequenzen, bei denen die Schleifenphase φ = 180 ° erreicht hat, die zugehörige Verstärkung kleiner als eins ist. Verstärker wie in der hier vorliegenden Übungsaufgabe zeigen i. d. R. ein aperiodisches Verhalten. D. h., es gibt keine z. B durch L-C-Kombinationen oder durch Leitungen hervorgerufene Resonanzen. Lediglich ab einer Grenzfrequenz zeigen solche Verstärker einen kontinuierlichen Abfall der Verstärkung.

Kennt man die Schleifenverstärkung in Betrag und Phase über einen genügend großen Frequenzbereich, kann man eine Aussage über das Stabilitätsverhalten treffen:

Mit  und  arbeitet der gegengekoppelte Verstärker stabil.

Oder andersherum formuliert:

Mit  und  arbeitet der gegengekoppelte Verstärker stabil.

Übrigens kann auch eine Art „Sicherheitsabstand“ definiert werden (Phasenreserve):

Bei positiver Phasenreserve (φRES > 0) arbeitet dann der Verstärker stabil.


Stabilität der vorliegenden Schaltung

V ist nach Betrag und Phase vorgegeben. R muß ermittelt werden:

Das Widerstandsnetzwerk zeigt keine Frequenzabhängigkeit und hat durchweg eine 0 °-Phasenlage. R(w) trägt man in das Bode-Diagramm ein und addiert grafisch V und R (im logarithmischen Maßstab entspricht das einer Multiplikation). Dazu wird am einfachsten die Abweichung von R zur Verstärkung-1-Linie abgemessen und zu V punkteweise übertragen. Die resultierende Kurve entspricht dann G0(w).

Zur Bestimmung der Stabilität geht man dann in folgenden Schritten vor:

Bestimmung der Frequenz, bei der 180 ° Phasenablage erreicht werden.

Bestimmung der Verstärkung auf dieser Frequenz.

In der vorliegenden Schaltung ist die Schleifenverstärkung größer eins. Die Schaltung arbeitet instabil.



Dimensionierung von R2

Für diese Aufgabe muß in umgekehrter Weise verfahren werden:

Bestimmung der Frequenz, bei der 180 ° Ablage erreicht werden.

Bestimmung eines Kurvenverlaufs der Schleifenverstärkung, der bei der ermittelten Frequenz eine Verstärkung von eins hätte.

Rückrechnen des zugehörigen Rückkopplungsfaktors R(w).

Bestimmung von R2 aus R(w).

Aus dem Bode-Diagramm ergibt sich ein R(w), das kleiner als 0,09 sein muß:

Aufgelöst nach R2 ergib sich:



12 CMOS-Schaltung

Die CMOS-Schaltung in Bild 12-1 mit den Eingängen A, B und C und dem Ausgang F soll auf ihr logisches Verhalten hin untersucht werden. Dabei soll eine Spannung von 5 V als HIGH-Pegel und eine Spannung von 0 V als LOW-Pegel betrachtet werden.

a)      Beschreiben Sie die Funktionsweise der Schaltung.

b)      Stellen Sie die Funktionstabelle von F = f (A, B, C) auf. Um welche Funktion der Schaltalgebra handelt es sich?

Bild 12-1 CMOS-Schaltung


Lösung 12

Positive und negative Logik

Einige Beispiele für die Definition von Logiksignalen zeigt die nachfolgende Tabelle. Dabei kann es durchaus sein, daß neben definierten Spannungsbereichen auch beliebig andere physikalische Größen in Betracht kommen (Ströme, Magnetisierungen, Ladungen, optische oder mechanische Größen etc.). Allen gemein ist aber die Diskretisierung der Werte, häufig in genau zwei Zustände (binär).

Die Begriffe der positiven und negativen Logik beziehen sich i. d. R. auf elektrische Spannungen. Von positiver Logik spricht man, wenn die höhere Spannung einer „1“ bzw. einem „High“ entspricht.

 

Positive
Logik

Negative
Logik

TTL

CMOS (5 V)

Differentiell

Eingänge

Ausgänge

Eingänge

Ausgänge

„+“-Signal

„–“-Signal

0

1

0–0,8 V

0–0,5 V

0–1 V

0–0,1 V

0 V

5 V

1

0

2–5 V

2,7–5 V

3,5–5 V

4,9–5 V

5 V

0 V

 

Zu erkennen sind auch deutliche Sicherheitsabstände zwischen den Spezifikationen für die Ein- und Ausgangsspannungen.

Das folgende Kapitel kommt ohne die Betrachtung physikalischer Größen aus. Transistoren werden als Schalter betrachtet, die nur die zwei Zustände leitend und sperrend annehmen. Spannungen werden (auf die Betriebsspannung) normiert betrachtet und mit „0“ (0 V, Massepotential) oder mit „1“ (Betriebsspannung) bezeichnet.


Funktionsweise

Analog zur Vorlesung kann das hier gezeigte Gatter in einen p- und einen n-Block unterteilt werden.

Für den p-Block gilt:

Das Ausgangssignal F kann nur auf „1“ liegen, wenn alle drei Transistoren T1, T2 und T3 leiten. Die Eingangssignale A, B und C müssen dazu alle auf „0“ liegen.

Für den n-Block gilt:

Das Ausgangssignal F liegt auf „0“, wenn mindestens einer der drei Transistoren T4, T5 oder T6 leitet. Für die Eingangssignale A, B und C reicht dazu eine „1“.

Diese beiden Aussagen stehen nicht im Widerspruch. Es sind daher die Konstruktionsvorschriften für  Standard-Gatter angewandt worden. Es leitet jeweils nur einer der Blöcke und der andere sperrt.

Hinweis: Es wäre auch zulässig, beide Blöcke sperren zu lassen (3-state). Verboten ist aber immer die Kombination, beide Blöcke gleichzeitig leiten zu lassen. Dies entspräche einem Kurzschluß der Betriebsspannung gegen Masse. In der Umschaltphase oder bei unzulässigen Eingangsspannungen kann es bei ordnungsgemäß konstruierten Gattern dieses Problem trotzdem geben, wenn auch nicht mit der Gefahr von direkten Kurzschlüssen (siehe Vorlesung).

Funktionstabelle

A

B

C

F

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

 

Es handelt sich um ein NOR-Gatter (NOT-OR) mit drei Eingängen.

 


13 CMOS-Logik

Für die CMOS-Logikfamilie sollen verschiedene Gatter mit je zwei Eingängen (A und B) konstruiert werden. Es ist darauf zu achten, mit möglichst wenigen MOS-Transistoren auszukommen. Die Logiksymbole sollen der „positiven Logik“ entsprechen.

Wieviele verschiedene logische Verknüpfungen sind für Gatter mit zwei Eingängen möglich? Welcher Zusammenhang gilt allgemein für N Eingänge?

Erstellen Sie die vollständige Tabelle für zwei Eingänge (also auch die Kombinationen, bei denen weniger als 2 Eingangssignale zur Funktion beitragen). Wie lauten die algebraischen Ausdrücke? Tragen Sie außerdem für bekannte Verknüpfungen den Gattertyp und das dazugehörige Schaltsymbol ein. Sie können dafür die vorbereite Tabelle 13-1 benutzen. Als Hilfe sind bereits vier Verknüpfungen vollständig eingetragen.

Für die Verknüpfungen ,  und  sind die Gatter auf Transistor-Ebene zu konstruieren.

Tabelle 13-1

#

Karnaugh-
Darstellung

Algebraischer
Ausdruck

Gatter-
Bezeichnung

Logik-Symbol

1

0

Nullfunktion

2

Konjunktion
(AND)

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

6

 

 

 

7

Antivalenz
(XOR)

8

 

 

 

9

 

 

 

10

 

 

 

11

 

 

 

12

 

 

 

13

 

 

 

14

 

 

 

15

Anti-Konjunktion
(NAND)

16

 

 

 


Lösung 13

Mögliche Verknüpfungen für Gatter mit N Eingängen

Allgemein gibt es  mögliche Verknüpfungen für Gatter mit N Eingängen. In dieser Zahl sind aber auch alle Verknüpfungen mit weniger als  N Eingängen enthalten. Für zwei Eingänge gibt es also  Möglichkeiten.

Alle Verknüpfungen für Gatter mit zwei Eingängen

 

#

Karnaugh-
Darstellung

Algebraischer
Ausdruck

Gatter-
Bezeichnung

Logik-Symbol

1

0

Nullfunktion

2

Konjunktion
(AND)

3

4

B

Identität

 

5

6

A

Identität

 

7

Antivalenz
(XOR)

8

Disjunktion
(OR)

9

Anti-Disjunktion
(NOR)

10

Äquivalenz
(XNOR)

11

Negation

 

12

Implikation

13

Negation

 

14

Implikation

15

Anti-Konjunktion
(NAND)

16

1

Einsfunktion

 

Hinweis: Die folgenden drei Logikfunktionen sind mit zwei Eingangsvariablen identisch:

 

Antivalenz

„0“, wenn alle Eingänge auf gleichem Pegel sind

Exklusives Oder

„1“, wenn genau ein Eingang auf „1“ liegt

Ungerade Parität

„1“, wenn eine ungerade Anzahl der Eingänge auf „1“ liegt


Konstruktion von CMOS-Gattern

Die vorgegebene Funktion ist so weit wie möglich in Übereinstimmung mit den Konstruktionsregeln für CMOS-Gatter zu bringen:

p-Block:

n-Block:

Beide Funktionen lassen sich nach deMorgan überführen. Es kann daher eine beliebige von beiden an die Vorgabe angepaßt werden, die andere ergibt sich dann aus der Transformation. Nach der Anpassung sollen nur noch so wenig wie möglich zusätzliche Inverter nötig sein. Bei unvermaschter Logik (wie in dieser und allen folgenden Aufgaben dieser Übungsreihe) gibt es nur zwei Möglichkeiten für die entsprechenden Funktionen. Davon benutzt man den Ausdruck mit den wenigsten zusätzlichen Invertierungen. Bei Gleichheit kann ein beliebiger ausgewählt werden. Alternativ kann geprüft werden, ob die Vorgabe besser zum n- oder zum p-Block paßt. Der jeweils andere Block muß dann umgewandelt werden.

Hinweis: In der Praxis kommt es vor, daß ausgewählte Datenpfade besonders wenig Verzögerung durch Gatterlaufzeiten erfahren dürfen. Für diese Fälle interessiert dann nur die Anzahl von Gattern für diesen speziellen Pfad (z. B. von A nach F) und nicht der Gesamtaufwand.


Konstruktion der CMOS-Gatter

Gefordert ist die Funktion .

Für den p-Block  wären zwei zusätzliche Inverter nötig, nämlich für beide Eingänge A und B. Für den n-Block  müßte nur ein Inverter an den Ausgang angeschlossen werden. Die zweite Lösung ist damit einfacher zu realisieren.

Dazu konvertiert man die geforderte Funktion für den n-Block:

 mit

Für den p-Block gilt der folgende Ausdruck:

 mit

Die Zusammenschaltung der einzelnen Transistoren erfolgt nach Vorgabe der Vorlesung in folgender Weise:

“ (UND) entspricht einer Serienschaltung der Transistoren,

“ (ODER) entspricht einer Parallelschaltung der Transistoren im Block.

Bei der vorliegenden Gatterkonstruktion handelt es sich um ein NAND mit nachgeschaltetem Inverter.


Gefordert ist die Funktion .

Für den p-Block  wäre ein zusätzliche Inverter nötig, nämlich für den Eingang A. Für den n-Block  müßten zwei Inverter angeschlossen werden, am Eingang B und am Ausgang. Die erste Lösung ist damit einfacher zu realisieren.

Dazu konvertiert man die geforderte Funktion für den p-Block:

 mit

Für den n-Block gilt der folgende Ausdruck:

 mit

Bei der vorliegenden Gatterkonstruktion handelt es sich um ein NAND mit vorgeschaltetem Inverter für A.


Gefordert ist die Funktion .

Für den p-Block  wären zwei zusätzliche Inverter nötig, nämlich für die Eingänge A und B. Für den n-Block  müßten drei Inverter angeschlossen werden, an beiden Eingängen A und B und am Ausgang. Die erste Lösung ist damit einfacher zu realisieren.

Dazu konvertiert man die geforderte Funktion für den p-Block:

 mit ,

Für den n-Block gilt der folgende Ausdruck:

 mit ,


14 Konstruktion von CMOS-Gattern

Für die CMOS-Logikfamilie sollen verschiedene Gatter mit mehreren Eingängen (A, B, C usw.) konstruiert werden. Benutzen Sie die in der Vorlesung gezeigte Vorgehensweise mit den n- und p-Blockfunktionen. Die Logiksymbole sollen der „positiven Logik“ entsprechen. Es sind die folgenden Logikfunktionen zu realisieren:

a)     

b)     

c)     


Lösung 14

Konstruktion der CMOS-Gatter

Gefordert ist die Funktion .

Für C ist ein Inverter nötig.

Funktion für den p-Block:

 mit

Funktion für den n-Block:

 mit


Gefordert ist die Funktion .

Für D ist ein Inverter nötig.

Funktion für den p-Block:

 mit

Funktion für den n-Block:

 mit


Gefordert ist die Funktion .

Für F ist ein Inverter nötig.

Funktion für den p-Block:

 mit

Funktion für den n-Block:

 mit


15 Reflexionen auf Leitungen

Bild 15-1 zeigt zwei Gatter G1 und G2, die über eine homogene Leitung mit dem Leitungsanfang X und dem Leitungsende Y miteinander verbunden sind. Die Leitung ist durch den Wellenwiderstand Z0 = 80 W und die Laufzeit T = 2 ns gekennzeichnet. Die Gatter G1 und G2 können durch eine Spannungsquelle mit U0 = 6 V, einer Ausgangsimpedanz ZA sowie einer Eingangsimpedanz ZE modelliert werden. Die Spannungsquelle U0 schalte zum Zeitpunkt t = 0 von 0 V auf 6 V. Es sollen jeweils die folgenden Fälle untersucht werden:

Tabelle 15-1

Fall

ZA

ZE

1

20 W

320 W

2

80 W

¥

3

0

80 W

4

80 W

80 W

 

Bild 15-1

a)      Bestimmen Sie für alle vier Fälle die Werte der Reflexionsfaktoren rA am Anfang (X) und rE am Ende (Y) der Leitung.

b)      Zeichnen Sie den Impulsfahrplan mit Angabe der Spannungswerte der reflektierten Impulse für alle vier Fälle und den Zeitbereich 0 £ t £ 4 T.

c)      Tragen Sie für den ersten Fall den Spannungsverlauf am Leitungsanfang (X) und am Leitungsende (Y) über der Zeit auf. Betrachten Sie auch hier den Zeitbereich 0 £ t £ 4 T.

d)      Beurteilen Sie qualitativ das Einschwingverhalten, das durch die untersuchten Fälle erreicht wird.

e)      Stellen Sie für den jeweiligen eingeschwungenen Zustand (t = ¥) die Eingangsspannungen am Gatter G2 sowie die Gesamtleistungsbilanzen gegenüber. Welche Anordnung hat den größten Vorteil?


Lösung 15

Reflexionsfaktoren

Die Reflexionsfaktoren berechnen sich nach der Formel aus der Vorlesung:

,

Hinweis: Der Reflexionsfaktor ist eine komplexe Größe. Nur wenn die Anschluß- und Leitungsimpedanzen beide als reell angesetzt werden (wie in dieser Übungsaufgabe), ergibt sich auch ein reeller Reflexionsfaktor. Der Wertebereich für Reflexionsfaktoren ist begrenzt auf:

Die Phase kann theoretisch alle Werte (0 ° – 360 °) annehmen, hier aber nur 0 ° oder 180 °.

Impulsfahrplan

Der Spannungswert der ersten von X nach Y laufenden Welle ergibt sich aus dem Ersatzschaltbild der Anordnung. Dabei kann eine Leitung mit dem Wellenwiderstand Z0 als Lastwiderstand gleicher Größe angesehen werden.

Die erste Spannungswelle U1 ergibt sich somit aus dem Spannungsteiler mit Z0 und ZA:

Für die Zeitintervalle [0…2T] und [2T…4T] an der Stelle X und die Intervalle [1T…3T] und [3T…5T] für die Stelle Y sind die bis zu den entsprechenden Zeitpunkten aufgelaufen Teilwellen zu addieren.


Einschwingverhalten

Das Einschwingverhalten ist als gut zu betrachten, wenn an mindestens einer Seite (X oder Y) der Reflexionsfaktor Null ist (Anpassung). Nur im Fall 1 gibt es Mehrfachreflexionen, die zu einem schlechten Einschwingverhalten führen.

Zusätzlich kann überprüft werden, welche Spannungen sich im stationären Zustand am Eingang von G2 einstellen. Dazu kann die Leitung als einfache Verbindung von G1 zu G2 gesehen werden.

Die Spannung UG2 ergibt sich aus dem Spannungsteiler mit ZE und ZA:

Leistungsbilanz

Die Leistungsbilanz für den statischen Zustand kann gleichfalls nach o. g. Verfahren ermittelt werden. Die Leistung ergibt sich zu:

Hinweis: Zur vollständigen Bewertung des Leistungsverbrauchs muß die mittlere Umschaltfrequenz des Ausgangssignals berücksichtigt werden. Für kurze Leitungen kann auch eine Ersatzkapazität der Leitung berechnet werden (Umladeverluste). Als kurz gilt eine Leitung, wenn ihre Länge klein gegenüber der Wellenlänge ausfällt, die der maximalen Schaltfrequenz entspricht.


 



Fall

1

2

3

4

[ ]

–0,6

0

–1

0

 

0,6

1

0

0

 

4,8

3

6

3

V

2,88

3

0

0

V

–1,73

0

0

0

V

–1,04

0

0

0

V

An der Stelle X

0 < t < 2T

4,8

3

6

3

V

2T < t < 4T

5,95

6

6

3

V

An der Stelle Y

0 < t < T

0

0

0

0

V

T < t < 3T

7,68

6

6

3

V

3T < t < 5T

4,91

6

6

3

V

Einschwingverhalten

+

+

+

 

Stationäre Spannung an G2

5,65

6

6

3

V

Stationäre Gesamtleistung

106

0

450

225

mW

 

Bezüglich des Einschwingverhaltens, der stationären G2-Spannung und der stationären Leistungsaufnahme hat der Fall 2 die besten Eigenschaften.


Spannungsverläufe

Für den Fall 1 sehen die Spannungverläufe an den Stellen X und Y wie folgt aus:


16 Reflexion und Brechung

Bild 16-1 zeigt eine Schaltung mit zwei Treiberbausteinen G1 und G2, die über eine Leitung miteinander verbunden sind. Die Leitung besteht aus zwei Segmenten, die jeweils verschiedene Leitungswiderstände Z und Laufzeiten T haben. An der Stelle Y treffen beide Segmente aneinander. Jeder Treiberbaustein kann durch die Eingangsimpedanz ZE = 40 W und die Ausgangsimpedanz ZA = 60 W modelliert werden. Der Treiber G1 schalte zum Zeitpunkt t = 0 von 0 V auf 15 V.

Weitere Angaben: T1 = 2 ns, T2 = 1 ns, Z1 = 40 W, Z2 = 60 W.

Bild 16-1

a)      Geben Sie die Werte der Reflexionsfaktoren rA am Leitungsanfang (X) und rE am Leitungsende (Z) an und bestimmen Sie den Brechungsfaktor an der Stelle Y sowohl für „hinlaufende“ (bH) als auch für „rücklaufende“ Wellen (bR).

b)      Zeichnen Sie den Impulsfahrplan mit Angabe der Spannungswerte der reflektierten Impulse für den Zeitbereich 0 £ t £ 6 T. Dabei soll eine Zeiteinheit T = 1 ns benutzt werden.

c)      Skizzieren Sie mit Hilfe der in Aufgabenteil a) bestimmten Werte für die Stellen X, Y und Z den Spannungsverlauf über der Zeit.


Lösung 16

Reflexions- und Brechungsfaktoren

Die Reflexionsfaktoren lauten:

Die Brechungsfaktoren sind nach der Formel aus der Vorlesung definiert:

Hinweis: Auch der Brechungsfaktor ist i. A. eine komplexe Größe. Für ihn gilt:


Impulsfahrplan

Der Spannungswert der ersten Welle ergibt sich aus dem Ersatzschaltbild der Anordnung. Dabei wird die erste Leitung als Lastwiderstand mit dem Wert Z1 angesehen.

Die erste Spannungswelle U1 ergibt sich somit aus dem Spannungsteiler mit Z1 und ZA:


Da sich die gebrochene Welle spannungsbezogen aus der hinlaufenden und der reflektierten Welle zusammensetzt (UB = UH + UR), gelten die folgende Beziehungen:

 und

Die weiteren Teilwellen ergeben sich zu:

Folgende Überlagerungen der Spannungen sind zu bestimmen:

 

Ort

Zeitintervall

Überlagerung

Spannung

X

0 < t < 4T

6 V

4T < t < 6T

7,44  V

Y

0 < t < 2T

0  V

2T < t < 4T

7,2  V

4T < t < 6T

6,05  V

Z

0 < t < 3T

0  V

3T < t < 5T

5,76  V

5T < t < 7T

5,87  V


Spannungsverläufe


17 Zeitverhalten von Flip-Flops

Bild 17-1 zeigt eine Schaltung mit flankengesteuerten JK-Flip-Flops. Die Kenndaten der Bausteine können der nachfolgenden Tabelle entnommen werden.

Tabelle 17-1

 

74F114

74F02

74F32

tPDLH

3,0 - 7,5 ns

2,5 - 6,5 ns

3,0 - 6,6 ns

tPDHL

3,0 - 8,5 ns

1,5 - 5,3 ns

3,0 - 6,3 ns

tSETUP

5 ns

 

 

tHOLD

1 ns

 

 

 

Bild 17-1 Schaltung mit flankengesteuerten Flip-Flops

a)      Vervollständigen Sie die Signalverläufe im Bild 17-2. Nehmen Sie dabei eine einheitliche Verzögerungszeit der Gatter an (tPD » 0,1 tCYCLE). Der Takt-Skew sei zu vernachlässigen.

b)      Erklären Sie in kurzen Worten die Funktion der Schaltung.

c)      Wie groß ist der maximale Skew tSKEW,MAX, mit dem die Schaltung funktionstüchtig ist?

d)      Bestimmen Sie die maximale Taktfrequenz fMAX, mit der die Schaltung für 1ns £ tSKEW £ 2ns betrieben werden kann.

e)      Durch welche schaltungstechnische Maßnahme kann die maximale Taktrate fMAX erhöht werden? Wie hoch ist die Taktrate für tSKEW = 2ns?


Bild 17-2 Signalverläufe


Lösung 17

Signalverläufe

Zum Verständnis der Arbeitsweise der Schaltung sollten die Funktionstabellen der verwendeten Bausteine aufgestellt werden.

 

74F32

74F02

 

74F114

E1

E2

A

A

 

J

K

Clk

0

0

0

1

 

0

0

¯

1

0

1

0

 

1

0

¯

1

0

0

1

1

0

 

0

1

¯

0

1

1

1

1

0

 

1

1

¯

 

Die Signalverläufe ergeben sich damit wie folgt:


Funktion der Schaltung

Ab dem Folgezyklus nach dem Erkennen einer positiven Taktflanke am Eingang E erscheint für drei Zyklen (Gatterverzögerung vernachlässigt) ein H-Pegel am Ausgang (nicht nachtriggerbarer Univibrator).

Maximaler Skew

Folgende Maßkette ergibt sich für die Ermittlung des maximalen Clock-Skews zwischen zwei in Serie geschalteten Flip-Flops. Dabei ist es unerheblich, ob es sich um zwei verschiedene Flip-Flops oder um ein einzelnes rückgekoppeltes Flip-Flop handelt. Bei letzter Variante ist lediglich kein Clock-Skew vorhanden, so daß nur die Daten dieses Flip-Flops selbst darüber entscheiden, ob ein sicherer Betrieb möglich ist.

tSKEW,MAX = tPD,MIN + tPS,MIN – tHOLD

Die entscheidenden kritischen Pfade liegen hier von FF1 ë FF2 und von FF2 ë FF3:

tSKEW,MAX = tPD,MIN(F114) + 0 – tHOLD(F114) = 3 ns + 0 ns – 1 ns = 2 ns


Maximale Taktfrequenz

Auch für die Bestimmung der maximalen Taktfrequenz gilt, daß sowohl zwei in Reihe geschaltete als auch ein einzelnes auf sich selbst rückgekoppeltes Flip-Flop berücksichtigt werden müssen. Diese Bedingung ist im Gegensatz zur Skew-Bedingung immer erfüllbar, wenn die Taktfrequenz klein genug ausfällt.

tCYCLE,MIN = tPD,MAX + tPS,MAX + tSETUP – tSKEW,MIN

Kritisch wird einer der Rückkopplungspfade von FF3 ë FF1 bzw. FF1 ë FF1, da hier die größten Schaltnetzverzögerungen liegen und im ersten Fall der Skew negativ ist.

 FF3 ë FF1

tCYCLE,MIN = tPD,MAX(F114) + 2·tPS,MAX(F02) + tPS,MAX(F32) + tSETUP(F114) – tSKEW,MIN

tCYCLE,MIN = 8,5 ns + 2·6,5 ns + 6,6 ns + 5 ns – 2·(–2 ns) = 37,1 ns

 FF1 ë FF1

tCYCLE,MIN = tPD,MAX(F114) + tPS,MAX(F02) + tPS,MAX(F32) + tSETUP(F114) – tSKEW,MIN

tCYCLE,MIN = 8,5 ns + 6,5 ns + 6,6 ns + 5 ns – 0 ns = 26,6 ns

 Worst case: 

tCYCLE,MIN = 37,1 ns


Erhöhung der Taktrate

1. Inverter einsparen:

Der Inverter am Ausgang  von FF3 kann eingespart werden, wenn das Signal direkt am Ausgang Q angeschlossen wird:

 FF3 ë FF1

tCYCLE,MIN = 8,5 ns + 6,5 ns + 6,6 ns + 5 ns + 4 ns = 30,6 ns

 Worst case: 

tCYCLE,MIN = 30,6 ns (fMAX » 33 MHz)

2. Taktrichtung umdrehen:

Zunächst muß dafür wieder die Skew-Bedingung überprüft werden (FF3 ë FF1):

tSKEW,MAX = tPD,MIN + tPS,MIN – tHOLD

 Mit an F02: 

tSKEW,MAX = 3 ns + 3·1,5 ns – 1 ns = 6,5 ns

 Mit an Q: 

tSKEW,MAX = 3 ns + 2·1,5 ns – 1 ns = 5 ns

Wegen tSKEW = 4 ns < 5 ns tritt keine Skew-Verletzung auf! Nun kann die Taktrate mit umgekehrter Taktrichtung und für die beiden Varianten (mit und ohne Inverter an FF3) ermittelt werden:

 Mit an F02: 

tCYCLE,MIN = 8,5 ns + 2·6,5 ns + 6,6 ns + 5 ns – 4 ns = 29,1 ns

 Mit an Q: 

tCYCLE,MIN = 8,5 ns + 6,5 ns + 6,6 ns + 5 ns – 4 ns = 22,6 ns

 FF1 ë FF1

tCYCLE,MIN = 8,5 ns + 6,5 ns + 6,6 ns + 5 ns – 0 ns = 26,6 ns (unverändert)

 Worst case: 

tCYCLE,MIN = 26,6 ns (fMAX » 37,6 MHz)